sexta-feira, 29 de julho de 2011

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA.

*Constitui o tipo de tabela mais importante      para a Estatística Descritiva.

*Abaixo temos procedimentos para construção dessas tabelas.

CONCEITOS INICIAIS.

1.    População.

Conjunto de pessoas ou objetos com uma característica comum.

     A = {Eleitores do Estado de M Gerais}

2.    Amostra.

   Qualquer subconjunto de uma população.

     B = {Eleitores da Cidade de Formiga}

3.    Variável Aleatória.

É quando uma variável pode ter resultados ou valores que tendem a mudar de uma observação para outra devido a fatores de chance de ocorrer. Ex. Lançamento de uma moeda: só pode sair K ou C (coroa ou cara – podem ser associados a 0 para coroa e 1 para cara).

4.    Variável Discreta.

       Uma variável Xi é denominada discreta, quando entre dois de seus valores inteiros não admitir valores intermediários.
Exemplos:

a)        Xi = Número de filhos de um casal.

Xi = 1, 2, 3, 4, 5,...

b)        Yi = Número de livros de uma biblioteca.

Yi = 2, 3, 4,... 100,... 1000,...

5.    Variável Contínua.

      Uma variável Xi é denominada continua, quando entre dois de seus valores inteiros admitirem valores intermediários.

Exemplos.

a)                Xi = Temperaturas da Cidade WYZ

Xi = 18o; 18,3o; 18.7o;.......

b)                Yi = Capacidade em litros de uma máquina.

Yi = 6l; 6,4l; 6,8l; 6,9; 7l; 7,4l; ...

6.    Dados Brutos.

São os dados após a crítica de seus valores. (Na crítica de valores são desprezados os dados que destoam da maioria. Ex. Se em uma determinada região encontramos salários que variam de 8.000,00 a 17.000,00 e aparecer um determinado salário de R$43.000,00  deverá ser desprezado para não interferir na média ou em outros cálculos necessários.)

Exemplo. Alturas em cm de 50 estudantes.

165
165
170
162
175
185
188
164
179
172
166
163
167
178
171
195
179
188
187
169
167
160
188
160
190
169
171
172
166
167
174
175
176
183
181
190
191
193
192
188
187
188
182
189
167


7.    Rol.

É a ordenação dos dados brutos. Pode ser ordem crescente ou decrescente de seus valores.

Ex. Forme o rol dos dados do exemplo anterior.





















































8.             Amplitude Total ou Amplitude da Amostra.

É dada pela diferença entre o maior e o menor valor do rol.

A = Xmax - Xmin

No exemplo anterior temos: (complete)

A =........-........

A =.........


9.              Frequência Absoluta.

Indicam quantas vezes cada elemento aparece no rol.

Ex. f(160) = 2

      f(161) = 0

      f(162) = 1                                                         
      f(163) = 1

       etc....


10.                        Tabela de Variável Discreta.

É a representação da variável discreta através de uma distribuição de frequência. Cada variável com sua respectiva frequência simples ou absoluta.


NÚMERO DE FILHOS DE UM CASAL.
fi
0
89
1
175
2
156
3
132
4
105
5
80
6
60
7
30
8
20

11.               Gráfico da Distribuição de Variável Discreta.
Cada Xi é representado de acordo com a sua frequência (fi)
                                         

12.                         Tabela de Variável Contínua.

   Os valores são representados em classes.

Idades
Número de Empregados.
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23
45
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31
55
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  39
35
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  47
27
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  55
18
180

Obs.: A tabela acima apresenta 5 classes.

         15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23, onde 15 é o limite inferior e 23 o superior;
         23ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31, onde 23 é o limite inferior e 31 o superior;
         31ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶   39, onde..............................................;
         ............................................................................;
         ................................................................................ .
         A frequência da 1a classe é 45.
         A frequência da 2a classe é 55.
         Etc...

13.                        Intervalos de classe.

Pode ser escritos de acôrdo com uma das notações abaixo:

(sendo a mais utilizada atualmente a primeira.)

 15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23 inclui o 15 e exclui o 23;

 15  ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ǀ 23 exclui o 15 e inclui o 23;

 15  ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23  limites aparentes 15 e 23
                  limites reais 14,5 e 22,5.

14.                        Ponto Médio de uma classe.

É dado pela média aritmética dos limites de classe.

          (Lim inf + Lim sup)/2
                                              
 No exemplo temos:

               (15+23)/2  =  19

                    Etc...


Teremos:   


Idades
Número de Empregados.  fi
Xi
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23
45
19
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31
55
27
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  39
35
35
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  47
27
43
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  55
18
51
180
---


15.                         Frequência Acumulada Crescente (fac).

Obtemos somando a frequência de cada classe com todas frequências anteriores.

Idades
Número de Empregados.  fi
Xi
fac
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23
45
19
(0+45)  45
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31
55
27
(45+55) 100
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  39
35
35
(45+55+35) 135
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  47
27
43
(135+27) 162
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  55
18
51
(162+18) 180
180
---
---





                                                                                               





16.                        Frequência Acumulada Decrescente (fad).

Obtemos somando a frequência de cada classe com todas frequências posteriores.

Idades
Número de Empregados.  fi
Xi
fad
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23
45
19
180
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31
55
27
135
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  39
35
35
80
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  47
27
43
45
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  55
18
51
18
180
---
---










17.                        Frequência Relativa.
É obtida dividindo-se a frequência da classe pelo somatório da frequência total. (fi)

Idades
Número de Empregados.
Xi
Fr
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23
45
19
   0,25
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31
55
27
 0,31
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  39
35
35
 0,19
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  47
27
43
 0,15
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  55
18
51
 0,10
180
---
1,00








Temos então que 25% dos elementos estão na primeira classe; 31% estão na segunda classe; 19% na terceira; etc...

Obs. A soma deve sempre dar 1,00; caso não ocorra por conta de arredondamentos deve-se subtrair ou aumentar na classe de maior frequência.


1.    Histograma.

É a representação gráfica da distribuição de frequência em classes, através de um gráfico de colunas justapostas. Gráfico abaixo.



2.    Polígono de frequência simples.

Fica determinado unindo-se no histograma o ponto médio de cada coluna. (fecham-se as laterais nos pontos do eixo dos x a uma distância igual à metade da coluna – ver gráfico anexo).



3.    Polígonos de frequência acumulada.

É a representação da frequência acumulada através de uma linha poligonal – podem ser crescentes ou decrescentes. Também denominadas de OGIVAS.



4.    Número de classes.

O número de classes de uma distribuição de frequência é dado pela fórmula de Sturges:

                    K = 1 + 3,32logN

onde N é o número de elementos do rol ou amostra.

Assim,  se N = 100, teremos:

                    K = 1 + 3,32log100

                    K = 1 + 3,32x2

                    K = 1 + 6,64

                    K = 7,64

Como o número de classes deve ser sempre inteiro.

        (K deve ser sempre arredondado para o inteiro superior)

                    K = 8 classe.

Obs. Na construção da distribuição devem ser evitadas classes com freqüência (zero); se isso ocorre nada impede de diminuir o número de classes para K = 7.

         Pode também ser utilizado: 
                          - se N < 25  temos K = 5 classes
                          - se N >= 25 temos K = Raiz quadrada de N.

                       
5.    Amplitude de classe.

É obtida dividindo-se a amplitude do rol (A) pelo número de classes (K).

                                 h =  A/K

       Obs. h deve ser sempre arredondado para o inteiro superior


     

5 comentários:

  1. Valew, tava com umas duvidas e consegui entender direitinho agora. Parabéns ai !

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  2. Ei queria tirar uma dúvida, fiz uma pesquisa e em um item da pesquisa coloquei as seguintes opções: 150 a 160, 161 a 170, 171 a 180, não posso colocar como intervalo de classes na tabela, pois foi feita como variáveis. isso?

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  3. Tou vendo essa material agora mesmo...nao ee nao facil como pacesa

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  4. Copiar e colar é fácil, isso não ajudou em nada, não tem exemplos e nem explicação dos topicos, gostaria de saber pq a maioria dos professores de matematica são arrogantes e presunçosos acham que pq Deus os abençoou com o dom da matematica acha que é uma coisa que todos podem aprender com facilidade.

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