DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA.

*Constitui o tipo de tabela mais importante      para a Estatística Descritiva.

*Abaixo temos procedimentos para construção dessas tabelas.

CONCEITOS INICIAIS.

1.    População.

Conjunto de pessoas ou objetos com uma característica comum.

     A = {Eleitores do Estado de M Gerais}

2.    Amostra.

   Qualquer subconjunto de uma população.

     B = {Eleitores da Cidade de Formiga}

3.    Variável Aleatória.

É quando uma variável pode ter resultados ou valores que tendem a mudar de uma observação para outra devido a fatores de chance de ocorrer. Ex. Lançamento de uma moeda: só pode sair K ou C (coroa ou cara – podem ser associados a 0 para coroa e 1 para cara).

4.    Variável Discreta.

       Uma variável X_i é denominada discreta, quando entre dois de seus valores inteiros não admitir valores intermediários.

Exemplos:

a)        X_i = Número de filhos de um casal.

X_i = 1, 2, 3, 4, 5,...

b)        Y_i = Número de livros de uma biblioteca.

Y_i = 2, 3, 4,... 100,... 1000,...

5.    Variável Contínua.

      Uma variável X_i é denominada continua, quando entre dois de seus valores inteiros admitirem valores intermediários.

Exemplos.

a)                X_i = Temperaturas da Cidade WYZ

X_i = 18^o; 18,3^o; 18.7^o;.......

b)                Y_i = Capacidade em litros de uma máquina.

Y_i = 6l; 6,4l; 6,8l; 6,9; 7l; 7,4l; ...

6.    Dados Brutos.

São os dados após a crítica de seus valores. (Na crítica de valores são desprezados os dados que destoam da maioria. Ex. Se em uma determinada região encontramos salários que variam de 8.000,00 a 17.000,00 e aparecer um determinado salário de R$43.000,00  deverá ser desprezado para não interferir na média ou em outros cálculos necessários.)

Exemplo. Alturas em cm de 50 estudantes.

165	165	170	162	175	185	188	164	179
172	166	163	167	178	171	195	179	188
187	169	167	160	188	160	190	169	171
172	166	167	174	175	176	183	181	190
191	193	192	188	187	188	182	189	167

7.    Rol.

É a ordenação dos dados brutos. Pode ser ordem crescente ou decrescente de seus valores.

Ex. Forme o rol dos dados do exemplo anterior.

8.             Amplitude Total ou Amplitude da Amostra.

É dada pela diferença entre o maior e o menor valor do rol.

A = X_max - X_min

No exemplo anterior temos: (complete)

A =........-........

A =.........

9.              Frequência Absoluta.

Indicam quantas vezes cada elemento aparece no rol.

Ex. f(160) = 2

      f(161) = 0

      f(162) = 1                                                         

      f(163) = 1

       etc....

10.                        Tabela de Variável Discreta.

É a representação da variável discreta através de uma distribuição de frequência. Cada variável com sua respectiva frequência simples ou absoluta.

NÚMERO DE FILHOS DE UM CASAL.	fi
0	89
1	175
2	156
3	132
4	105
5	80
6	60
7	30
8	20

11.               Gráfico da Distribuição de Variável Discreta.

Cada X_i é representado de acordo com a sua frequência (f_i)

                                         

12.                         Tabela de Variável Contínua.

   Os valores são representados em classes.

Idades	Número de Empregados.
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23	45
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31	55
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  39	35
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  47	27
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  55	18
∑	180

Obs.: A tabela acima apresenta 5 classes.

         15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23, onde 15 é o limite inferior e 23 o superior;

         23ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31, onde 23 é o limite inferior e 31 o superior;

         31ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶   39, onde..............................................;

         ............................................................................;

         ................................................................................ .

         A frequência da 1^a classe é 45.

         A frequência da 2^a classe é 55.

         Etc...

13.                        Intervalos de classe.

Pode ser escritos de acôrdo com uma das notações abaixo:

(sendo a mais utilizada atualmente a primeira.)

 15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23 inclui o 15 e exclui o 23;

 15  ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ǀ 23 exclui o 15 e inclui o 23;

 15  ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23  limites aparentes 15 e 23

                  limites reais 14,5 e 22,5.

14.                        Ponto Médio de uma classe.

É dado pela média aritmética dos limites de classe.

          (Lim inf + Lim sup)/2

                                              

 No exemplo temos:

               (15+23)/2  =  19

                    Etc...

Teremos:   

Idades	Número de Empregados.  fi	Xi
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23	45	19
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31	55	27
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  39	35	35
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  47	27	43
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  55	18	51
∑	180	---

15.                         Frequência Acumulada Crescente (fac).

Obtemos somando a frequência de cada classe com todas frequências anteriores.

Idades	Número de Empregados.  fi	Xi	fac
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23	45	19	(0+45)  45
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31	55	27	(45+55) 100
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  39	35	35	(45+55+35) 135
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  47	27	43	(135+27) 162
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  55	18	51	(162+18) 180
∑	180	---	---

                                                                                               

16.                        Frequência Acumulada Decrescente (fad).

Obtemos somando a frequência de cada classe com todas frequências posteriores.

Idades	Número de Empregados.  fi	Xi	fad
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23	45	19	180
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31	55	27	135
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  39	35	35	80
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  47	27	43	45
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  55	18	51	18
∑	180	---	---

17.                        Frequência Relativa.

É obtida dividindo-se a frequência da classe pelo somatório da frequência total. (fi)

Idades	Número de Empregados.	Xi	Fr
15ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  23	45	19	0,25
23 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  31	55	27	0,31
31 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  39	35	35	0,19
39 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  47	27	43	0,15
47 ǀ̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶  55	18	51	0,10
∑	180	---	1,00

Temos então que 25% dos elementos estão na primeira classe; 31% estão na segunda classe; 19% na terceira; etc...

Obs. A soma deve sempre dar 1,00; caso não ocorra por conta de arredondamentos deve-se subtrair ou aumentar na classe de maior frequência.

1.    Histograma.

É a representação gráfica da distribuição de frequência em classes, através de um gráfico de colunas justapostas. Gráfico abaixo.

2.    Polígono de frequência simples.

Fica determinado unindo-se no histograma o ponto médio de cada coluna. (fecham-se as laterais nos pontos do eixo dos x a uma distância igual à metade da coluna – ver gráfico anexo).

3.    Polígonos de frequência acumulada.

É a representação da frequência acumulada através de uma linha poligonal – podem ser crescentes ou decrescentes. Também denominadas de OGIVAS.

4.    Número de classes.

O número de classes de uma distribuição de frequência é dado pela fórmula de Sturges:

                    K = 1 + 3,32logN

onde N é o número de elementos do rol ou amostra.

Assim,  se N = 100, teremos:

                    K = 1 + 3,32log100

                    K = 1 + 3,32x2

                    K = 1 + 6,64

                    K = 7,64

Como o número de classes deve ser sempre inteiro.

        (K deve ser sempre arredondado para o inteiro superior)

                    K = 8 classe.

Obs. Na construção da distribuição devem ser evitadas classes com freqüência (zero); se isso ocorre nada impede de diminuir o número de classes para K = 7.

         Pode também ser utilizado: 

                          - se N < 25  temos K = 5 classes

                          - se N >= 25 temos K = Raiz quadrada de N.

                       

5.    Amplitude de classe.

É obtida dividindo-se a amplitude do rol (A) pelo número de classes (K).

                                 h =  A/K

       Obs. h deve ser sempre arredondado para o inteiro superior